โครงสร้างพื้นฐาน
สมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองแบบเชิงเส้น กล่าวถึงฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า $y(x)$ กับอนุพันธ์อันดับแรกและอันดับสองของมัน คำว่า "เชิงเส้น" หมายความว่า ทุกกรณีของ $y$, $y'$, และ $y''$ จะปรากฏอยู่ในรูปผลคูณกำลังหนึ่งเท่านั้น
โดยที่ $P(x)$, $Q(x)$, $R(x)$, และ $G(x)$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงเฉพาะ
การจำแนกประเภทสมการ
- สมการแบบโฮโมเจนีอัส: หาก $G(x) = 0$ สำหรับทุก $x$ ในช่วง สมการนี้เรียกว่า โฮโมเจนีอัสสมการเหล่านี้ใช้ในการจำลองระบบที่เกิดการสั่นสะเทือนอิสระหรืออยู่ในภาวะสมดุล
สูตรหลัก: $P(x)\frac{d^2y}{dx^2} + Q(x)\frac{dy}{dx} + R(x)y = 0$
- สมการแบบไม่โฮโมเจนีอัส: หาก $G(x) \neq 0$ สมการนี้เป็น ไม่โฮโมเจนีอัสฟังก์ชัน $G(x)$ แสดงถึงแรงภายนอกที่กระทำต่อระบบ (เช่น การขับรถผ่านหลุมบ่อ)
หลักการซ้อนทับ
หนึ่งในเครื่องมือที่ทรงพลังที่สุดในทฤษฎีเชิงเส้น คือความสามารถในการสร้างคำตอบที่ซับซ้อนจากคำตอบง่ายๆ
หาก $y_1(x)$ และ $y_2(x)$ เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นโฮโมเจนีอัส และ $c_1, c_2$ เป็นค่าคงที่ใดๆ แล้ว ผลรวมเชิงเส้น:
$y(x) = c_1y_1(x) + c_2y_2(x)$
ก็จะเป็นคำตอบเช่นกัน
การหาคำตอบทั่วไป
เพื่อให้ครอบคลุม ทุกคำตอบ ที่เป็นไปได้ของสมการโฮโมเจนีอัส เราต้องมั่นใจว่าคำตอบพื้นฐานสองค่าของเราเป็น อิสระเชิงเส้นหมายความว่า ทั้งสองฟังก์ชันไม่ใช่ค่าคงที่คูณกัน (ตัวอย่างเช่น $e^x$ และ $e^{2x}$ เป็นอิสระเชิงเส้น ส่วน $e^x$ และ $2e^x$ ไม่เป็นอิสระเชิงเส้น)